El Infinito, ese lugar extraño

1. La Nostalgia

De mi bachillerato me quedó claro que el Infinito no es un número y que cualquier desliz en este terreno podría llevar a consecuencias tan catastróficas como las que acarrea una división por cero. Eran tiempos, claro es, en que los libros de matemáticas eran escuetos, ligeramente ásperos al tacto, con las figuras justas y las definiciones en negrita, como órdenes. Casi todos los autores venían de la escuela de Rey Pastor y mi profesor A. Martinez Losada no lo podía hacer mejor.

Después vinieron los libros de SM, mucho mas gordos, con muchas fotos, en papel satinado y en los que para explicar el área del rectángulo necesitaban una gran foto de un campo de futbol. “Ahora son más didácticos”, decían algunos.

2. La Broma

Recientemente circulan por la red algunos memes que “demuestran” que la serie

1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12. ¿ Cómo dices? Un valor inferior al primer término y encima negativo.

Bueno, no hay que alarmarse, aún. Por ahora estamos de broma

Para ello toman la serie 1 – 1 + 1 – 1 + … Esta serie suma cero o uno según donde paremos y no converge, por tanto no se puede hablar de suma, pero ellos ajenos a una "legalidad impuesta" razonan así:

Llamemos A a la suma:

A = 1 – 1 + 1 -1 + …, Restamos A de la unidad

1-A = 1- ( 1 – 1 + 1 -1 + …), y separando el primer término 1 – A = 1 – 1 + ( 1 – 1 + 1 – 1 + ...)

es decir 1 – A = 0 + A , con lo cual A = ½

Otros, mas lanzados, ahorran pasos: como la mitad de las veces suma cero y la otra mitad uno, pues nos quedamos con la media aritmética  y asunto concluido 1/2.

¿ qué te ha salido la serie ?

½ ¿ y a tí ?

Igual, ¡ lo tenemos bien colega!

A continuación toman la serie 1 – 2 + 3 – 4 + 5 - … y sometiéndola a similares torturas demuestran que suma ¼, a partir de aquí, combinando habilmente ambos resultados encuentran que la mencionada serie 1 + 2 + 3 + 4 +… suma -1/12.

Ahorro al lector las demostraciones bromistas intermedias, son muy fáciles de encontrar en Internet.

3. En Serio

Hacia 1900 Ramanujan describió un complejo algoritmo de suma de series que asignaba un resultado tanto a las series convergentes como a las que no lo eran. Naturalmente, el resultado de aplicar este algorítmo se llama “suma de Ramanujan” y se escribe con el signo = añadiendo una R mayúscula al final de la ecuación.

¿Por qué introdujo Ramanujan este algoritmo? Probablemente por el mecanismo que ha hecho crecer a las matemáticas desde siempre: aparecieron los número negativos cuando alguien se dió cuenta de que se podian deber mas vacas de las que se tenían, los número complejos cuando alguién se empeñó en calcular raices cuadradas de números negativos, etc.

Lo verdaderamente notable es que ahora si podemos, o debemos, decir

1+2+3+4+ … = - 1/12 ® La suma de Ramanujan de la mencionada serie sale lo que decían los “bromistas”

Debo reconocer que el resultado me deja estupefacto. ¿ Para que puede servir un algoritmo que llega a resultados tan “absurdos”? Y sobre todo ¿ no podía haberles dado una buena colleja a los bromistas?

4. La Naturaleza

La mencionada serie está apareciendo en estudios y experimentos relacionados con la ya  famosa teoria de cuerdas que trata de encontrar una teoría unificada de las fuerzas que intervienen en la naturaleza: gravitacional, electromagnética, etc.

También en el llamado efecto Casimiro que estudia las fuerzas elctromagnéticas de origen cuántico que aparecen entre dos placas conductoras paralelas.

Y posiblemente en algún otro fenómeno estudiado a la luz de la mecánica cuántica aparece esta serie 1+2+3+4+ ….

En todos estos casos, los estudios teóricos concuerdan mejor con los resultados medidos cuando se admite que el valor de la serie es el de su suma de Ramanujan, es decir:

- 1/12

5. Epílogo

Rey Pastor yace, junto a otros meritorios matemáticos de la época en el mas profundo de los olvidos , de los libros de matemáticas que se usan en la EGB vale mas no hablar. Por suerte los buenos profesores de matemáticas seguirán en el recuerdo de algunos de sus alumnos mientras estos vivan.

Srinivasa Ramanujan dejó su semilla en un ambiente cultural más acogeror que le hizo una merecida película homenaje en 2016 “El Hombre que Conocía el Infinito”, comentada en este foro.

Los “colegas” son hoy día cincuentones, uno es profesor de mates en un IES. El de la media aritmética es consejero autonómico.

Pedro Pérez, becario del Consejo Superior de Investigaciones Científicas le pide todas las noches a Dios, o al Big Bang, que si no tiene tiempo para arreglarle lo de su beca al menos nos envíe pronto un nuevo Newton o Einstein a ver si aclara un poco las cosas.

Si el lector siente curiosidad por visitar un lugar tan impredecible como el Infinito puede reservar un billete al Paraiso de Cantor y alojarse en el Hotel de Hilbert. También puede, para irse preparando,  leer “el Aleph”, pequeña narracion de J.L. Borges inspirada en los trabajos de Cantor.